搞垮银行的数学公式

经济学家费希尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯的心血结晶——布莱克-斯科尔斯方程式（Black-Scholes equation）是投资者的圣杯，凭借这种理性方法，当金融合同正在执行时，人们就可以为其定价，如同在赛马比赛中途对一匹马的买卖下注。它开辟了一个全新的、更加复杂的投资世界，并最终孕育成为巨大的全球型产业。但是，当次级抵押贷款市场恶化时，这个金融市场的宠儿却成了“黑洞”的代名词，将世界各地的资金吸出，吞入永无止境的漩涡中。

了解危机始末的人都明白，以企业和商品为主体的实体经济被名为衍生品的复杂金融工具抢了风头。这些金融工具既不是金钱，也不是货物，而是针对投资产品的投资，在赌注上下注。衍生品构建了一个蓬勃发展的全球经济，但同时也导致市场动荡、信贷紧缩、银行体系濒临崩溃和经济衰退。正是布莱克-斯科尔斯方程式掀开了衍生品世界的潘多拉魔盒。

方程式本身并非真有问题。它很有用，也很精确，其局限性被表示得很明确，为评估金融衍生工具的可能价值提供了一个行业标准方法。因此，衍生品在到期前仍可买卖。如果明智地使用它，并在市场条件不适合的情况下弃之不用，这个公式就没问题。麻烦在于它潜在有被滥用的风险。它允许衍生品成为商品，并被人们用于谋取私利。金融界将其称为迈达斯公式（Midas Formula），视之为点物成金的秘诀。但市场忘记了迈达斯国王的故事是如何结尾的。

布莱克-斯科尔斯方程式支撑了经济的大规模增长。到2007年，在国际金融体系中的衍生品交易总量每年高达一万亿美元。扣除通胀因素，这是上世纪全球制造业总产值的十倍。该方程式的缺点是，派生出更多复杂的金融工具，其价值和风险越来越模糊不清。于是，各家公司聘请了精通数学的分析师，开发出类似的数学公式，告诉他们新工具价值几何，风险安在？然后，他们悲惨地忘记询问，一旦市场条件变化，上述答案的可靠性会有多少？

布莱克和斯科尔斯在1973年发明了该方程式，此后不久，罗伯特·默顿提供了更多的论证。它适用于最简单和最古老的衍生品：期权。期权主要有两种：看跌期权让买方有权在指定时间以商定价格出售商品。看涨期权有相似功能，但它给予的是买入而不是卖出的权利。方程式为在期权到期前计算期权价值，提供了系统化方法。因此，期权得以在任何时间买卖。方程式相当有效，以至于默顿和斯科尔斯在1997年同时获得诺贝尔经济学奖。（当时布莱克已过世，因此失去了获奖资格。）

如果每个人都知道衍生品的正确价值，而且达成共识，人们如何用它牟利？该公式要求用户对几个数值进行估算。但是，靠衍生品赚钱的主要方法是赢得赌注，也就是购买一种日后能以更高价格卖出的衍生品，或者说当衍生品到期时，其价值高于预期。赢家从输家手中赚钱利润。在任何一年，都会有75-90%的期权交易商亏钱。当次贷危机泡沫破裂时，全球的银行损失了数百亿美元。在随后的恐慌中，纳税人被迫买单，但这是政治，而不是数理经济学。

布莱克-斯科尔斯公式将期权的建议价格与四个变量相关联，其中三项可以直接代入公式，即时间、期权所含有的安全资产价值和无风险利率。这是进行零风险（如政府债券）投资时获得的纯理论收益。第四个变量是资产的波动性，以此来衡量市价变动时该期权的弹性。这个公式的假设前提是，在期权的使用期内，流动性保持不变，不需要被修正。流动性可经过价格走势的统计分析得来，但它无法以精准且万无一失的方式加以测量，而且，估算可能与现实不符。

许多金融模型背后的理念都源自生活在1900年的路易·巴舍利耶（Louis Bachelier），他认为股市波动可以为一种被称作布朗运动的随机过程。在每个瞬间，一只股票的价格要么涨，要么跌，模型假定这些事件的发生概率是固定的，也许大致相等，也许略有差异。这就像人站在街道上，反复掷硬币来决定向前或向后移动一小步，所以，他们会不停地前进后退。他们的位置也就随着股价的变化，上下起伏不定。布朗运动的最重要统计特征是它的平均值和标准差。平均值是短期均价，通常在一个特定的方向漂移，其上升或下降取决于市场对股票走势的看法。标准差可以被认为是股价偏离平均值的平均数值，可以使用标准统计公式计算出来。对于股价而言，这被称为波动率，用于衡量价格波动的不稳定性。对一段时期的股价图上，波动率与股价走势相对应。

布莱克-斯科尔斯公式将巴舍利耶的构想变为现实。它没有直接给出期权（被出售或购买时）的价值，而是用数学家所说的偏微分方程，表示出当其他多种变量发生变化时股价的变化率。幸运的是，用这个公式可以推导出看跌期权的价值计算公式，以及类似的看涨期权公式。

布莱克-斯科尔斯的早期成功，鼓励金融界发明出一系列针对不同金融工具的相关公式。传统性银行可以利用这些公式，审核贷款和交易，估算合理的利润，始终对潜在风险保持警觉。但是，非传统型银行就不那么谨慎了。很快，银行随之介入越来越多的投机冒险。

现实中的任何数学模型都依赖于简化和假设。布莱克-斯科尔斯方程式的基础是套利定价理论，其中的漂移和波动是永恒不变的。这种假设在金融理论中屡见不鲜，但对于真实市场而言，它往往是虚假的。该公式还假设交易成本为零，卖空不受限制，资金可以以已知的、固定的和无风险利率贷入贷出。现实往往再次与此大相径庭。

当这些假设有效时，风险通常很低，因为股市大波动应该是极为罕见的。但在1987年10月19日的黑色星期一，在几个小时内，全球股市价值蒸发超过20％，依照模型的假设，这种极端事件几乎是不可能发生的。金融数学专家纳西姆·尼古拉斯·塔勒布（Nassim Nicholas Taleb）在其畅销书《黑天鹅》（The Black Swan）中，将这种极端事件称为“黑天鹅”。在远古时代，所有已知的天鹅都是白色的，“黑天鹅”一词的广泛用法，就像我们现在所说的“飞天猪”。但在1697年，荷兰探险家威廉·拉明（Willem de Vlamingh）在如今被称为澳大利亚天鹅河上，发现了大群黑天鹅。因此，这个词现在用来指代一种貌似根据确凿、实际上却随时可能演变成重大错误的假设。

股市的大幅波动比布朗运动的预测更为常见。其原因是不切实际的假设 —— 忽视了潜在的黑天鹅。但在通常情况下，模型都表现得非常出色，于是，随着时间的推移和增长的信心，许多银行家和交易员忘了模型具有局限性。他们将公式当成一件护身符，保护自己在出错时免受批评。

银行、对冲基金和其他投机者很快开始了更复杂的衍生品交易，如信贷违约掉期交易，相当于为邻居的房子投保火险，而且，数目惊人。他们依据自身实力自行为资产定价，这意味着，其资产可以作为其他交易的抵押品。随着一切变得愈加复杂，用于评估价值和风险的数学模型越来越偏离现实。模型是以房地产为基础而建立的，市场认定，不动产价值将永远上升，这些投资毫无风险。

布莱克 – 斯科尔斯方程式起源于数学物理学，它认为数量无限可分，时间不断流动，变量变化平稳。这种模型对于金融世界可能是不恰当的。传统的数学经济学与现实并不总是匹配，当它出错时，会错得离谱。因此，物理学家、数学家和经济学家都在寻找更好的模型。

这些努力的最前沿成果是复杂性科学，它是数学的一个新分支，依据特定规则将市场模拟为个体互动的集合体。这些模型显示出羊群效应的破坏力：市场交易员的行为彼此效仿。上个世纪发生的每一次金融危机几乎都源于人类的羊群效应，一次又一次将世界推到崩溃的边缘，将一切毁于一旦，世界上的一座桥崩塌了，其他桥随之全部倾覆。

对生态系统的研究表明，在经济模式中，不稳定是常见的现象，其主要原因是金融体系存在设计缺陷。轻点鼠标即可完成数十亿资金的流转，可能会让利润来得更快，也可能使冲击传播得更快。

那么，应该将金融危机归咎于一个方程式吗？是，也不是。布莱克-斯科尔斯公式可能难辞其咎，但那是由于它被滥用。在任何情况下，相对于金融界的不负责任、政治的无能、不正当的激励措施和监管的疏忽而言，数学公式只在林林总总的错误中，扮演了微不足道的小角色。

尽管其所谓的专业知识，金融界的表现并不比换乱瞎猜强多少。股市已经连续20年失去方向。金融系统太过复杂，不能单凭失误频频的预言和直觉而运转，但目前的数学模型又无法充分反映现实。人们对整个系统知之甚少，而且，它岌岌可危。世界经济迫切需要一场大刀阔斧的改革，需要更多、而不是更少的数学知识。这可能是件复杂的事，但绝不是魔术。（本文摘自伊恩·斯图尔特著《改变世界的17个公式》）