（二）插值、拟合与查表
插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。用简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。φ(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。
根据测量数据的类型：
1．测量值是准确的，没有误差。
2．测量值与真实值有误差。
这时对应地有两种处理观测数据方法：
1．插值或曲线拟合。
2．回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。
MATLAB中提供了众多的数据处理命令。有插值命令，有拟合命令，有查表命令。
1.插值命令
命令1 interp1
功能 一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。各个参量之间的关系示意图为图2-14。
图2-14 数据点与插值点关系示意图
格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x与Y的内插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
yi = interp1(Y,xi) %假定x=1:N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。
yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值：
’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；
’spline’：三次样条函数插值。对于该方法，命令interp1调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。命令spline用它们执行三次样条函数插值；
’pchip’：分段三次Hermite插值。对于该方法，命令interp1调用函数pchip，用于对向量x与y执行分段三次内插值。该方法保留单调性与数据的外形；
’cubic’：与’pchip’操作相同；
’v5cubic’：在MATLAB 5.0中的三次插值。
对于超出x范围的xi的分量，使用方法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法，相应地将返回NaN。对其他的方法，interp1将对超出的分量执行外插值算法。
yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap') %对于超出x范围的xi中的分量将执行特殊的外插值法extrap。
yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval) %确定超出x范围的xi中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN或0。
命令2 interp2
功能 二维数据内插值（表格查找）
格式 ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI) %返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI与YI（可以是向量、或同型矩阵）的元素，即Zi(i,j)←[Xi(i,j),yi(i,j)]。用户可以输入行向量和列向量Xi与Yi，此时，输出向量Zi与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型的。同时取决于由输入矩阵X、Y与Z确定的二维函数Z=f(X,Y)。参量X与Y必须是单调的，且相同的划分格式，就像由命令meshgrid生成的一样。若Xi与Yi中有在X与Y范围之外的点，则相应地返回nan（Not a Number）。
ZI = interp2(Z,XI,YI) %缺省地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再按第一种情形进行计算。
ZI = interp2(Z,n) %作n次递归计算，在Z的每两个元素之间插入它们的二维插值，这样，Z的阶数将不断增加。interp2(Z)等价于interp2(z,1)。
ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) %用指定的算法method计算二维插值：
’linear’：双线性插值算法（缺省算法）；
’nearest’：最临近插值；
’spline’：三次样条插值；
’cubic’：双三次插值。
命令3 interp3
功能 三维数据插值（查表）
格式 VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI) %找出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V(X,Y,Z)在点（XI,YI,ZI）的值。参量XI,YI,ZI是同型阵列或向量。若向量参量XI,YI,ZI是不同长度，不同方向（行或列）的向量，这时输出参量VI与Y1,Y2,Y3为同型矩阵。其中Y1,Y2,Y3为用命令meshgrid(XI,YI,ZI)生成的同型阵列。若插值点(XI,YI,ZI)中有位于点(X,Y,Z)之外的点，则相应地返回特殊变量值NaN。
VI = interp3(V,XI,YI,ZI) %缺省地，X=1:N，Y=1:M，Z=1:P，其中，[M,N,P]=size(V)，再按上面的情形计算。
VI = interp3(V,n) %作n次递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的三维插值。这样，V的阶数将不断增加。interp3(V)等价于interp3(V,1)。
VI = interp3(…,method) %用指定的算法method作插值计算：
‘linear’：线性插值（缺省算法）；
‘cubic’：三次插值；
‘spline’：三次样条插值；
‘nearest’：最邻近插值。
说明 在所有的算法中，都要求X,Y,Z是单调且有相同的格点形式。当X,Y,Z是等距且单调时，用算法’*linear’，’*cubic’，’*nearest’，可得到快速插值
命令4 interpft
功能 用快速Fourier算法作一维插值
格式 y = interpft(x,n) %返回包含周期函数x在重采样的n个等距的点的插值y。若length(x)=m，且x有采样间隔dx，则新的y的采样间隔dy=dx*m/n。注意的是必须n≥m。若x为一矩阵，则按x的列进行计算。返回的矩阵y有与x相同的列数，但有n行。
y = interpft(x,n,dim) %沿着指定的方向dim进行计算
命令5 griddata
功能 数据格点
格式 ZI = griddata(x,y,z,XI,YI) %用二元函数z=f(x,y)的曲面拟合有不规则的数据向量x,y,z。griddata将返回曲面z在点（XI,YI）处的插值。曲面总是经过这些数据点（x,y,z）的。输入参量（XI,YI）通常是规则的格点（像用命令meshgrid生成的一样）。XI可以是一行向量，这时XI指定一有常数列向量的矩阵。类似地，YI可以是一列向量，它指定一有常数行向量的矩阵。
[XI,YI,ZI] = griddata(x,y,z,xi,yi) %返回的矩阵ZI含义同上，同时，返回的矩阵XI,YI是由行向量xi与列向量yi用命令meshgrid生成的。
[…] = griddata(…,method) %用指定的算法method计算：
‘linear’：基于三角形的线性插值（缺省算法）；
‘cubic’： 基于三角形的三次插值；
‘nearest’：最邻近插值法；
‘v4’：MATLAB 4中的griddata算法。
命令6 spline
功能 三次样条数据插值
格式 yy = spline(x,y,xx) %对于给定的离散的测量数据x,y（称为断点），要寻找一个三项多项式 ，以逼近每对数据(x,y)点间的曲线。
命令7 interpn
功能 n维数据插值（查表）
格式 VI = interpn(X1,X2,,…,Xn,V,Y1,Y2,…,Yn) %返回由参量X1,X2,…,Xn,V确定的n元函数V=V(X1,X2,…,Xn)在点（Y1,Y2,…,Yn）处的插值。参量Y1,Y2,…,Yn是同型的矩阵或向量。若Y1,Y2,…,Yn是向量，则可以是不同长度，不同方向（行或列）的向量。它们将通过命令ndgrid生成同型的矩阵，再作计算。若点(Y1,Y2,…,Yn)中有位于点（X1,X2,…,Xn）之外的点，则相应地返回特殊变量NaN。
VI = interpn(V,Y1,Y2,…,Yn) %缺省地，X1=1:size(V,1)，X2=1:size(V,2)，…，Xn=1:size(V,n)，再按上面的情形计算。
VI = interpn(V,ntimes) %作ntimes次递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的n维插值。这样，V的阶数将不断增加。interpn(V)等价于interpn(V,1)。
VI = interpn(…,method) %用指定的算法method计算：
‘linear’：线性插值（缺省算法）；
‘cubic’：三次插值；
‘spline’：三次样条插值法；
‘nearest’：最邻近插值算法。
命令8 meshgrid
功能 生成用于画三维图形的矩阵数据。
格式 [X,Y] = meshgrid(x,y) 将由向量x，y（可以是不同方向的）指定的区域[min(x)，max(x)，min(y)，max(y)]用直线x=x(i),y=y(j)（i=1,2,…,length(x) ，j=1,2,…,length(y)）进行划分。这样，得到了length(x)*length(y)个点，这些点的横坐标用矩阵X表示，X的每个行向量与向量x相同；这些点的纵坐标用矩阵Y表示，Y的每个列向量与向量y相同。其中X,Y可用于计算二元函数z=f(x,y)与三维图形中xy平面矩形定义域的划分或曲面作图。
[X,Y] = meshgrid(x) %等价于[X,Y]=meshgrid(x,x)。
[X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z) %生成三维阵列X,Y,Z，用于计算三元函数v=f(x,y,z)或三维容积图
命令9 ndgrid
功能 生成用于多维函数计算或多维插值用的阵列
格式 [X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x1,x2,…,xn) %把通过向量x1,x2,x3…,xn指定的区域转换为数组x1,x2,x3,…,xn。这样，得到了 length(x1)* length(x2)*…*length(xn)个点，这些点的第一维坐标用矩阵X1表示，X1的每个第一维向量与向量x1相同；这些点的第二维坐标用矩阵X2表示，X2的每个第二维向量与向量x2相同；如此等等。其中X1,X2,…,Xn可用于计算多元函数y=f(x1,x2,…,xn)以及多维插值命令用到的阵列。
[X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x) %等价于[X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x,x,…,x)
2.拟合命令
命令 polyfit
功能 生成线性最小二乘拟合多项式函数的系数
格式 a=plyfit(x,y,m) %输入参数x,y为要拟合的数据，是长度自定义的数组，m为要拟合多项式的次数，输出参数a为拟合多项式y=a1*x^m+a2*x^(m-1)+...am*x+a(m+1)
小提示 多项式在x处的值y可用下面命令计算：y=polyval(a,x)
3.查表命令
命令1 table1
功能 一维查表
格式 Y = table1(TAB,X0) %返回用表格矩阵TAB中的行线性插值元素，对X0（TAB的第一列查找X0）进行线性插值得到的结果Y。矩阵TAB是第一列包含关键值，而其他列包含数据的矩阵。X0中的每一元素将相应地返回一线性插值行向量。矩阵TAB的第一列必须是单调的。
命令2 table2
功能 二维查表
格式 Z = table1(TAB,X0,Y0) %返回用表格矩阵TAB中的行与列交叉线性线性插值元素，对X0（TAB的第一列查找X0）进行线性插值，对Y0（TAB的第一行查找Y0）进行线性插值，对上述两个数值进行交叉线性插值，得到的结果为Z。矩阵TAB是第一列与第一行列都包含关键值，而其他的元素包含数据的矩阵。TAB(1,1)的关键值将被忽略。[X0,Y0]中的每点将相应地返回一线性插值。矩阵TAB的第一行与第一列必须是单调的。
没有评论:
发表评论